Toán học — xương sống thầm lặng của mọi thứ
Có một câu hỏi mà hầu như ai học toán cũng từng hỏi, hoặc từng nghe người khác hỏi: "Học toán để làm gì? Ra đời có dùng đâu." Mình từng nghĩ y hệt như vậy — đạo hàm, tích phân, lượng giác cứ như ngôn ngữ của hành tinh khác, học để thi, thi xong thì quên.
Nhưng càng về sau mình càng nhận ra một điều ngược lại: toán không phải một môn học trong trường. Toán là cái xương sống chống đỡ cho gần như mọi thứ đang vận hành quanh mình — từ cái điện thoại trong túi, tấm ảnh mình vừa chụp, cho tới cách mình quyết định vay tiền mua nhà.
---
Toán không phải môn học, mà là một ngôn ngữ
Trước hết, thử nhìn toán khác đi một chút: nó không phải một tập hợp công thức cần thuộc lòng, mà là một ngôn ngữ — ngôn ngữ chính xác nhất mà con người từng tạo ra để mô tả thế giới.
Khoảng năm 300 trước Công nguyên, nhà toán học Euclid ở Alexandria viết cuốn
Elements (Cơ sở) — bộ sách 13 quyển gom toàn bộ hình học Hy Lạp thời đó lại. Điều làm cuốn sách này đặc biệt không phải là nó chứa bao nhiêu định lý, mà là cách nó được xây dựng: Euclid bắt đầu từ chỉ 5 tiên đề và 5 khái niệm chung — những điều được chấp nhận là đúng mà không cần chứng minh, ví dụ như "qua hai điểm bất kỳ luôn vẽ được một đường thẳng" — rồi từ đó suy ra từng định lý một, cái sau dựa trên cái trước, chặt chẽ như xếp domino.
Đó chính là điểm khác biệt của toán so với những cách giải thích thế giới trước đó. Ở bài mở đầu của loạt này mình đã kể: con người thuở sơ khai đổ mọi thứ không giải thích được cho thần thánh, cho thế lực siêu nhiên. Toán — cùng với khoa học thực nghiệm sau này — là bước ngoặt: thay vì kể một câu chuyện, người ta viết một phương trình; thay vì tin, người ta chứng minh.
---
Cái điện thoại trong túi bạn đang chạy bằng toán
Nghe thì to tát, nhưng thử nhìn vào những thứ gần gũi nhất: chiếc điện thoại bạn đang cầm.
Tin nhắn của bạn được khóa bằng số nguyên tố. Mỗi lần bạn nhắn tin, chuyển khoản hay đăng nhập, rất có thể đằng sau đó là RSA — một trong những hệ mã hoá phổ biến nhất. Cách nó hoạt động nghe thì đơn giản đến khó tin: lấy hai số nguyên tố rất lớn (trong thực tế hiện nay mỗi số thường dài khoảng 1.024 bit, cho khoá 2.048 bit), nhân chúng lại với nhau thành một số n rồi công khai cho cả thế giới biết. Nhưng muốn giải mã được tin nhắn thì phải biết hai số nguyên tố ban đầu — mà từ n tách ngược lại thành hai thừa số nguyên tố thì với máy tính ngày nay gần như không thể trong thời gian hợp lý. Nhân thì dễ, tách thì khó — một tính chất toán học thuần tuý, vậy mà nó đang bảo vệ gần như toàn bộ giao dịch trên internet.
Tấm ảnh bạn chụp được nén bằng sóng. Một bức ảnh chụp bằng điện thoại có thể nặng vài MB, nhưng khi gửi qua mạng nó chỉ còn vài trăm KB mà mắt thường gần như không thấy khác biệt. Bí quyết nằm ở JPEG, và đằng sau JPEG là phép biến đổi Fourier — cụ thể là biến đổi cosin rời rạc (DCT). Ý tưởng thế này: ảnh được chia thành từng khối nhỏ 8x8 pixel, rồi mỗi khối được "dịch" từ dạng điểm ảnh sang dạng sóng — thành phần nào biến đổi chậm (nền trời, mặt tường) thì quan trọng, thành phần nào biến đổi nhanh (chi tiết li ti, nhiễu) thì mắt người ít để ý. Thuật toán giữ lại phần quan trọng, bỏ bớt phần ít quan trọng, thế là ảnh nhẹ đi cả chục lần mà nhìn vẫn y nguyên.
Google tìm kiếm bằng đại số tuyến tính. Hồi Google mới ra đời, thứ làm nó vượt mặt các công cụ tìm kiếm khác là PageRank — thuật toán xếp hạng trang web do Larry Page và Sergey Brin phát triển. Ý tưởng của nó rất đẹp: coi toàn bộ web như một mạng lưới các trang nối với nhau bằng liên kết, mỗi liên kết là một "phiếu bầu". Trang nào được nhiều trang quan trọng trỏ tới thì quan trọng. Vấn đề là cái này vòng tròn: muốn biết trang nào quan trọng thì phải biết trang trỏ tới nó quan trọng cỡ nào. Đại số tuyến tính giải quyết vòng tròn đó: toàn bộ mạng web được viết thành một ma trận khổng lồ, và đáp án — bảng xếp hạng các trang — chính là một vector riêng (eigenvector) của ma trận đó, ứng với trị riêng bằng 1. Để thuật toán hội tụ, người ta thêm một hệ số gọi là damping factor, thường đặt là 0,85 — mô hình hoá một người lướt web cứ 100 lần bấm link thì khoảng 15 lần sẽ nhảy sang một trang ngẫu nhiên.
AI đang hot cũng chỉ là toán, chạy rất nhanh. Một mạng nơ-ron, nói cho cùng, là một hàm số khổng lồ được mô tả bằng các phép nhân ma trận (đại số tuyến tính), rồi được "dạy" bằng cách chỉnh dần các tham số sao cho sai số giảm xuống — quá trình đó dùng đạo hàm và gradient, tức là giải tích, với thuật toán gradient descent và lan truyền ngược dựa trên quy tắc chuỗi. Xác suất thống kê thì cho mô hình cách xử lý sự không chắc chắn. Ba trụ cột — đại số tuyến tính, giải tích, xác suất — chính là ba chân kiềng của học máy hiện đại.
---
Toán trong đời sống: tiền, rủi ro và quyết định
Nhưng toán không chỉ sống trong điện thoại. Nó sống trong những quyết định hàng ngày của mình, ngay cả khi mình không gọi tên nó.
Tiền bạc là toán. Lãi kép — tiền lãi sinh ra tiền lãi — là một hàm mũ. Hiểu được hàm mũ thì sẽ hiểu vì sao gửi tiết kiệm đều đặn vài chục năm lại ra một con số lớn đến vậy, và ngược lại, vì sao nợ thẻ tín dụng trả tối thiểu mỗi tháng lại là một cái bẫy: số nợ cũng tăng theo hàm mũ, nhưng theo hướng chống lại mình.
Xác suất giúp mình bớt bị lừa. Rất nhiều thứ trong đời là chuyện xác suất, nhưng não mình lại không giỏi cảm nhận xác suất. Một ví dụ kinh điển: một xét nghiệm bệnh có độ chính xác 99% nghe thì đáng tin tuyệt đối, nhưng nếu bệnh đó chỉ có 1 người trên 10.000 người mắc, thì một kết quả dương tính vẫn có khả năng cao là dương tính giả — vì số người không bệnh nhưng bị xét nghiệm "nhận nhầm" đông hơn nhiều so với số người thật sự bệnh. Đây là định lý Bayes, một công thức xác suất có từ thế kỷ 18.
Ngay cả chuyện đi đường cũng là toán. Bản đồ trên điện thoại tìm đường ngắn nhất bằng lý thuyết đồ thị — mỗi ngã tư là một nút, mỗi đoạn đường là một cạnh có trọng số là thời gian di chuyển. Mình bấm "đi" và đi theo chỉ dẫn, nhưng đằng sau đó là cả một ngành toán học đang chạy.
---
Thứ quý nhất toán để lại: cách tư duy
Nhưng nếu chỉ kể về ứng dụng thì vẫn chưa đủ. Với mình, thứ quý nhất mà toán để lại không phải là công thức, mà là cách tư duy.
Tư duy logic. Học toán là học cách đi từ "đã biết" tới "chưa biết" bằng những bước không thể chối cãi. Euclid chứng minh định lý Pythagoras không phải bằng cách đo một nghìn tam giác vuông rồi kết luận, mà bằng lập luận: nếu những tiên đề này đúng, thì định lý này bắt buộc phải đúng. Thói quen đó — đòi hỏi mọi kết luận phải có lý do — là thứ mà bất kỳ nghề nào cũng cần: lập trình viên debug, luật sư lập luận, bác sĩ chẩn đoán, hay đơn giản là một người đọc tin tức và tự hỏi "kết luận này có suy ra được từ dữ liệu không?".
Chia nhỏ vấn đề. Một bài toán khó gần như luôn được giải bằng cách chia nó thành những bài toán nhỏ hơn, giải từng cái một. Đó cũng là cách mọi vấn đề phức tạp trong đời được giải quyết: một dự án lớn chia thành các hạng mục, một hệ thống lớn chia thành các module. Toán chỉ là nơi kỹ năng này được luyện một cách trong sáng nhất, vì ở đó đúng là đúng, sai là sai, không có chỗ cho "chắc là được".
Tư duy trừu tượng. Toán dạy mình làm việc với những thứ không sờ thấy, không nhìn thấy: số âm, số ảo, vô cực, không gian nhiều chiều. Nghe thì xa vời, nhưng chính khả năng nghĩ về cái trừu tượng đó mới cho phép con người thiết kế ra những thứ chưa từng tồn tại: một cây cầu chưa xây, một con chip chưa sản xuất. Mọi thiết kế đều bắt đầu bằng một mô hình toán học trong đầu.
---
Kết: học toán không phải để thi
Mình biết nhiều người có kỷ niệm không vui với toán — những giờ học ngồi nghe mà không hiểu, những bài kiểm tra điểm thấp. Nhưng mình nghĩ vấn đề thường không nằm ở toán, mà ở cách toán được dạy: như một đống công thức để thi, thay vì như một cách để nhìn thế giới.
Toán là thứ nhân loại đã mất hàng nghìn năm để xây nên, từ vài vạch đếm trên xương thú cho tới ma trận của Google và mạng nơ-ron của AI. Nó là nền tảng của vật lý, hoá học, sinh học và mọi ngành kỹ thuật — và cũng là một trong những công cụ tư duy sắc bén nhất mà một người có thể trang bị cho mình. Không cần phải giỏi toán để sống tốt. Nhưng hiểu toán là gì, và nó đang làm việc cho mình ở những đâu, thì chắc chắn sẽ giúp mình sống tỉnh táo hơn.
Bài sau trong loạt này, mình sẽ viết về vật lý — môn học đi lên từ những thứ nhỏ nhất để giải thích tại sao mọi thứ xung quanh lại hoạt động được như vậy, và bằng cách nào người ta chứng minh được điều đó từ lý thuyết toán học cho tới thực nghiệm.
---
Nguồn tham khảo
